diciembre 2, 2021
El teorema de gödel

El teorema de gödel

El teorema de gödel online

En una charla anterior (trabajo conjunto con Reinhard Kahle) hemos presentado el universo de Mahlo predicativo extendido, que permite dar una formalización más predicativa del universo de Mahlo en el entorno del sistema de Matemáticas Explícitas de Feferman.
Esto indica que el ordinal teórico de prueba de un sistema de axiomas A difícilmente puede ser una medida del rendimiento de A con respecto a su modelo estándar. Resulta que más bien mide el rendimiento de A con respecto a «universos por encima» de su modelo estándar previsto. Los llamados sistemas de axiomas impredicativos axiomatizan más de un universo por encima de su modelo estándar y, por tanto, inducen un espectro de ordinales teóricos de prueba. En un trabajo anterior (que aparecerá en el volumen Axiomatic Thinking II, Springer 2021) estudiamos los sistemas de axiomas en el lenguaje de la aritmética y sus espectros en «universos analíticos», es decir, universos cuyos conjuntos son conjuntos de números naturales. En la presente charla indicaremos cómo extender estos estudios a sistemas de axiomas para la teoría de conjuntos y universos teóricos de conjuntos -especialmente admisibles-. Obtenemos un puente hacia la teoría abstracta de la α-recursión en la medida en que los espectros de los sistemas de axiomas investigados contienen exactamente los ordinales que están cerrados bajo las funciones α-recursivas cuya totalidad es demostrable en el sistema de axiomas.

Teorema de incompletitud de gödel pdf

Cubitt y sus colaboradores se centraron en calcular la «brecha espectral»: la brecha entre el nivel de energía más bajo que pueden ocupar los electrones en un material y el siguiente. Esto determina algunas de las propiedades básicas de un material. En algunos materiales, por ejemplo, la disminución de la temperatura hace que se cierre el hueco, lo que hace que el material se convierta en un superconductor. Los estados cuánticos de los átomos de la red constituyen una máquina de Turing, que contiene la información de cada paso de un cálculo para hallar la brecha espectral del material.Cubitt y sus colegas demostraron que, para una red infinita, es imposible saber si el cálculo termina, por lo que la cuestión de si la brecha existe sigue siendo indecidible.
Sin embargo, para un trozo finito de celosía 2D, el cálculo siempre termina en un tiempo finito, lo que conduce a una respuesta definitiva. A primera vista, por tanto, el resultado parece tener poca relación con el mundo real. Los materiales reales son siempre finitos, y sus propiedades pueden medirse experimentalmente o simularse por ordenador, pero la indecidibilidad «en el infinito» significa que, aunque se conozca la brecha espectral para una red de tamaño finito, ésta podría cambiar bruscamente -de no tener brecha a tenerla o viceversa- cuando el tamaño aumenta, aunque sea en un solo átomo más. Y dado que es «imposible» predecir cuándo -o si- lo hará, dice Cubitt, será difícil sacar conclusiones generales a partir de experimentos o simulaciones.

El dios del teorema de gödel

Dar un enunciado matemáticamente preciso del Teorema de Incompletitud de Godel sólo ocultaría su importante contenido intuitivo a casi cualquier persona que no sea especialista en lógica matemática. Así que, en su lugar, lo reformularé y simplificaré en el lenguaje de los ordenadores.
Imaginemos que tenemos acceso a un ordenador muy potente llamado Oracle. Al igual que los ordenadores con los que estamos familiarizados, Oracle pide que el usuario «introduzca» instrucciones que sigan unas reglas precisas y proporciona la «salida» o respuesta de una forma que también sigue estas reglas. La misma entrada producirá siempre la misma salida. La entrada y la salida se escriben como enteros (o números enteros) y Oracle sólo realiza las operaciones habituales de suma, resta, multiplicación y división (cuando es posible). A diferencia de los ordenadores normales, no hay que preocuparse por la eficiencia o el tiempo. Oracle llevará a cabo las instrucciones correctamente dadas sin importar el tiempo que le lleve y sólo se detendrá cuando se hayan ejecutado, incluso si tarda más de un millón de años.

La prueba de gödel

Las matemáticas intentan demostrar que las afirmaciones son verdaderas o falsas basándose en estos axiomas y definiciones, pero a veces los axiomas resultan insuficientes. A veces, los axiomas conducen a paradojas, como la paradoja de Russell, por lo que se necesita un nuevo conjunto de axiomas. A veces los axiomas simplemente no son suficientes, por lo que puede ser necesario un nuevo axioma para demostrar un resultado deseado.
Como ejemplo no matemático de un modelo, digamos que los axiomas que definen ser un «coche» son que tiene al menos 3 ruedas, junto con al menos un motor que hace girar al menos una de las ruedas. Un coche estándar sigue claramente esos axiomas, y es por tanto un modelo para los «axiomas del coche». Un autobús también sería un modelo para los axiomas del coche.
Los axiomas matemáticos funcionan de la misma manera. Hay axiomas para los números naturales, y su suma y multiplicación, llamados «aritmética de Peano» (pay-AH-no). Los números naturales normales, siguen estos axiomas, por lo que son el modelo estándar para ellos. Pero hay modelos no estándar que siguen los axiomas de la aritmética de Peano.

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